מספרים מרוכבים מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. המספר i והצורה האלגברית: פעולות וצמוד

   $i$ הוא מספר שמקיים $i² = −1$. מספר מרוכב $z = a + bi$: a החלק הממשי, b החלק המדומה. חיבור וכפל כמו באלגברה, עם $i² = −1$. הצמוד $z̄ = a − bi$, ו-$z·z̄ = a² + b²$. חילוק: כופלים בצמוד של המכנה. שוויון: ממשי = ממשי וגם מדומה = מדומה. חזקות i במחזור של 4.

2. מישור גאוס, ערך מוחלט, שורש ריבועי ומשוואות ריבועיות

   מישור גאוס: $a + bi$ ↔ הנקודה $(a, b)$; ציר ממשי אופקי, ציר מדומה אנכי. $|z| = √(a² + b²)$ = מרחק מהראשית; $|z₁ − z₂|$ = מרחק בין שתי נקודות; $|zw| = |z||w|$, $|z/w| = |z|/|w|$, $z·z̄ = |z|²$.

3. הצגה קוטבית ומשפט דה-מואבר

   הצגה קוטבית: $z = r·cisθ = r(cosθ + i·sinθ)$, כאשר $r = |z|$ ו-θ הזווית מהציר הממשי החיובי. מעבר: $a = r·cosθ$, $b = r·sinθ$. כפל: כופלים רדיוסים ומחברים זוויות; חילוק: מחלקים ומחסרים. משפט דה-מואבר: $(r·cisθ)ⁿ = rⁿ·cis(nθ)$.

4. שורשים מסדר n, שורשי היחידה ומקומות גאומטריים

   למשוואה $zⁿ = w$ (w = R·cisφ) יש n פתרונות: $z = R^1/n·cis((φ + 360°k)/n)$, k = 0, ..., n − 1 - קודקודי מצולע משוכלל שמרכזו בראשית; סכומם 0. שורשי היחידה: $cis(360°k/n)$.

5. חזרה משולבת: מספרים מרוכבים

   חזרה על המספרים המרוכבים: צורה אלגברית ופעולות, צמוד, מישור גאוס וערך מוחלט, שורש ריבועי ומשוואות ריבועיות, הצגה קוטבית ודה-מואבר, שורשים מסדר n ומקומות גאומטריים. בכל שאלה לבחור את הצורה הנוחה: אלגברית לחיבור ולמשוואות עם z̄, קוטבית לכפל, חזקות ושורשים.

→ וקטורים וגאומטריה במרחבפונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, גדילה ודעיכה ←