וקטורים וגאומטריה במרחב מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. וקטורים בגישה הגאומטרית: פעולות וצירוף ליניארי

   וקטור = גודל + כיוון (חץ). חיבור בכלל המשולש/המקבילית ($AB⃗ + BC⃗ = AC⃗$), חיסור = חיבור הנגדי, כפל בסקלר מותח ומשנה כיוון אם שלילי. בגופים מבחרים 2 או 3 וקטורי בסיס (למשל $AB⃗, AD⃗, AA'⃗$ בתיבה) ומביעים כל וקטור כצירוף ליניארי שלהם.

2. המכפלה הסקלרית: אורכים, זוויות ומאונכות

   המכפלה הסקלרית: $u⃗·v⃗ = |u⃗|·|v⃗|·cosθ$ - מספר, לא וקטור. $u⃗·u⃗ = |u⃗|²$; $u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗·v⃗ = 0$; זווית קהה ⇔ מכפלה שלילית. כדי למצוא אורך: $|u⃗ + v⃗|² = |u⃗|² + 2u⃗·v⃗ + |v⃗|²$. כדי למצוא זווית: $cosθ = u⃗·v⃗/(|u⃗||v⃗|)$.

3. וקטורים במערכת צירים במרחב

   במערכת צירים במרחב וקטור הוא שלשה $(x, y, z)$. $AB⃗ = B − A$; חיבור וכפל בסקלר רכיב-רכיב; אורך $√(x² + y² + z²)$; מכפלה סקלרית $x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂$; זווית $cosθ = u⃗·v⃗/(|u⃗||v⃗|)$; מקבילים ⇔ פרופורציוניים; מאונכים ⇔ מכפלה 0.

4. הישר במרחב: הצגה פרמטרית ומצבים הדדיים

   ישר במרחב: $x⃗ = A + t·d⃗$ (A נקודה על הישר, $d⃗$ וקטור כיוון, t פרמטר). שני ישרים: כיוונים פרופורציוניים ⇐ מקבילים או מתלכדים (בודקים נקודה); לא פרופורציוניים ⇐ משווים הצגות - יש פתרון: נחתכים, אין: מצטלבים. הזווית בין ישרים: $cosα = |d⃗₁·d⃗₂|/(|d⃗₁||d⃗₂|)$.

5. המישור: הצגה פרמטרית, משוואת מישור, ישר ומישור

   מישור: הצגה פרמטרית $x⃗ = A + t·u⃗ + s·v⃗$, או משוואה $ax + by + cz = d$ שבה $(a, b, c)$ הוא וקטור נורמל (מאונך למישור). מעבר: נורמל מאונך לשני וקטורי הכיוון. ישר ומישור: $d⃗·n⃗ ≠ 0$ חותך; $= 0$ מקביל או מוכל (בודקים נקודה).

6. מרחקים וזוויות במרחב, וגופים: תיבה, מנסרה ופירמידה

   מרחק נקודה ממישור $|ax₀ + by₀ + cz₀ − d|/√(a² + b² + c²)$; בין מישורים מקבילים $|d₁ − d₂|/|n⃗|$; מנקודה לישר - דרך עקב האנך. זווית בין ישרים: cos עם ערך מוחלט; בין ישר למישור: $sinα = |d⃗·n⃗|/(|d⃗||n⃗|)$; בין מישורים: הזווית בין הנורמלים.

7. חזרה משולבת: וקטורים

   חזרה על פרק הווקטורים: הבעת וקטורים בגוף והשוואת מקדמים, מכפלה סקלרית (אורכים, זוויות, מאונכות), וקטורים אלגבריים, ישרים ומישורים ומצביהם ההדדיים, מרחקים וזוויות במרחב, ופירמידה/תיבה/מנסרה.

→ גאומטריה אנליטית: מקומות גאומטריים וחתכי חרוטמספרים מרוכבים ←