גאומטריה אנליטית: מקומות גאומטריים וחתכי חרוט מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. נקודות וישרים: חלוקת קטע ביחס, מרחק נקודה מישר ומקום גאומטרי

   חלוקה פנימית של קטע ביחס m : n: $x = (n·x₁ + m·x₂)/(m + n)$ (וכך גם y). מרחק נקודה $(x₀, y₀)$ מהישר $ax + by + c = 0$: $d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)$; מרחק בין ישרים מקבילים: $|c₁ − c₂| / √(a² + b²)$.

2. המעגל כמקום גאומטרי: השלמה לריבוע ומשיק

   מעגל = המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המרכז) הוא R. משוואה קנונית: $(x − a)² + (y − b)² = R²$. צורה כללית $x² + y² + Dx + Ey + F = 0$ מזהים בהשלמה לריבוע - היא מעגל רק אם אגף ימין חיובי. המשיק בנקודה על המעגל מאונך לרדיוס.

3. מצבים הדדיים: ישר ומעגל, שני מעגלים ומקומות גאומטריים

   ישר ומעגל: משווים את המרחק d מהמרכז לישר לרדיוס R (d < R חותך, d = R משיק, d > R לא נפגשים). שני מעגלים: משווים את מרחק המרכזים ל-$R₁ + R₂$ ול-$|R₁ − R₂|$. חיסור משוואות של מעגלים נחתכים נותן את ישר המיתר המשותף.

4. הפרבולה

   פרבולה = כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המוקד F) שווה למרחקן מישר קבוע (המדריך). משוואה קנונית $y² = 2px$: מוקד $(p/2, 0)$, מדריך $x = −p/2$, קודקוד בראשית, סימטריה לציר ה-x. משיק בנקודה $(x₁, y₁)$ שעליה: $y·y₁ = p(x + x₁)$.

5. האליפסה

   אליפסה = כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) קבוע ושווה ל-2a. משוואה קנונית $x²/a² + y²/b² = 1$ (a > b): קודקודים $(±a, 0)$, קצות הציר הקטן $(0, ±b)$, מוקדים $(±c, 0)$ עם $c² = a² − b²$.

6. ההיפרבולה

   היפרבולה = כל הנקודות שהפרש מרחקיהן (בערך מוחלט) משני מוקדים קבוע ושווה ל-2a. משוואה קנונית $x²/a² − y²/b² = 1$: קודקודים $(±a, 0)$, מוקדים $(±c, 0)$ עם $c² = a² + b²$, אסימפטוטות $y = ±(b/a)x$. משיק בנקודה: $x·x₁/a² − y·y₁/b² = 1$; תנאי השקה $n² = a²m² − b²$.

7. חזרה משולבת: גאומטריה אנליטית

   חזרה על פרק הגאומטריה האנליטית: חלוקת קטע, מרחק נקודה מישר, מעגל ומשיק, מצבים הדדיים, מקומות גאומטריים, פרבולה, אליפסה והיפרבולה. בכל שאלה: לזהות את העקומה, לכתוב את הנתונים (מרכז, רדיוס, p, a, b, c), ולבחור כלי: נוסחת משיק, תנאי השקה או הצבה.

וקטורים וגאומטריה במרחב ←