פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, גדילה ודעיכה מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 8 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. חזקות והפונקציה המעריכית: חוקים, משוואות ואי-שוויונים

   חוקי חזקות: $aᵐ·aⁿ = a^m+n$, $aᵐ/aⁿ = a^m−n$, $(aᵐ)ⁿ = a^mn$, $a⁻ⁿ = 1/aⁿ$, $a^m/n = (ⁿ√a)ᵐ$. הפונקציה $y = aˣ$ (a > 0, a ≠ 1): עוברת דרך (0, 1), חיובית, אסימפטוטה y = 0; עולה אם a > 1, יורדת אם 0 < a < 1. משוואות: אותו בסיס ⇐ מעריכים שווים; הצבה $t = aˣ > 0$.

2. לוגריתמים והפונקציה הלוגריתמית

   $logₐb = c ⇔ aᶜ = b$ (a > 0, a ≠ 1, b > 0). חוקים: $log(xy) = logx + logy$, $log(x/y) = logx − logy$, $log(xᵏ) = k·logx$, החלפת בסיס $logₐb = ln b / ln a$. $lnx = logₑx$, $e^lnx = x$.

3. גדילה ודעיכה

   תהליך מעריכי: $f(t) = f(0)·qᵗ$; גדילה ב-p% ⇐ $q = 1 + p/100$, דעיכה ⇐ $q = 1 − p/100$. זמן מחצית חיים T: $f(t) = f(0)·(½)^t/T$; זמן הכפלה באותו אופן. צורה שקולה $f(0)·e^kt$ עם $k = ln q$; זמן הכפלה $ln2/k$.

4. הנגזרת של פונקציות מעריכיות וחקירה

   $(eˣ)′ = eˣ$; $(e^g(x))′ = g′(x)·e^g(x)$; $(aˣ)′ = aˣ·ln a$. חקירה: תחום (כל x), חיתוך עם הצירים ($eˣ ≠ 0$ תמיד), נגזרת - $eˣ$ חיובי ולכן הסימן נקבע בגורם האחר, אסימפטוטות אופקיות לפי $eˣ → 0$ כש-$x → −∞$. נגזרת שנייה לקעירות ופיתול.

5. הנגזרת של פונקציות לוגריתמיות וחקירה

   $(lnx)′ = 1/x$; $(ln g(x))′ = g′(x)/g(x)$; $(logₐx)′ = 1/(x·ln a)$. חקירה: קודם תחום ההגדרה (הביטוי בתוך ln חיובי), אסימפטוטה אנכית בקצה התחום, חיתוך עם ציר x כשהביטוי בפנים = 1. lnx עולה וקעורה כלפי מטה.

6. חקירה משולבת: פרמטרים, אסימפטוטות ומשיקים

   חקירה מלאה של פונקציות עם $eˣ$ ו-$lnx$: תחום, חיתוכים, אסימפטוטות (אופקיות מ-$eˣ → 0$ ו"סדר הכוחות" $lnx ≪ xⁿ ≪ eˣ$, אנכיות מקצה התחום של ln), קיצון, קעירות, זוגיות. בפרמטרים: מציבים את התנאי (עובר בנקודה, קיצון ב-x נתון, משיק) ופותרים.

7. אינטגרלים, שטחים והאינטגרל כצבירת שטח

   $∫eˣdx = eˣ + C$; $∫e^ax+bdx = (1/a)e^ax+b + C$; $∫g′·e^g dx = e^g + C$; $∫(1/x)dx = ln|x| + C$; $∫dx/(ax+b) = (1/a)ln|ax+b| + C$; $∫g′/g dx = ln|g| + C$. אינטגרל מסוים = הפרש ערכי הקדומה; שטח = אינטגרל של (עליונה − תחתונה).

8. חזרה משולבת: פרק ב׳

   חזרה על פרק ב׳ בשאלון 35572: חזקות ולוגריתמים, גדילה ודעיכה, נגזרות וחקירה של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (כולל פרמטרים), אינטגרלים ושטחים.

→ מספרים מרוכביםמבחני תרגול בפורמט שאלון 35572 ←