חזקות, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. חוקי החזקות ומעריך רציונלי

   חוקי החזקות: aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. מעריך רציונלי (a > 0): a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ. כך כותבים שורשים כחזקות ומביאים ביטויים לבסיס משותף.

2. הפונקציה המעריכית, משוואות ואי-שוויונות

   הפונקציה המעריכית f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1): מוגדרת לכל x, חיובית תמיד, עוברת ב-(0, 1), אסימפטוטה אופקית y = 0; עולה כש-a > 1 ויורדת כש-0 < a < 1. משוואות: בסיס משותף ⇐ מעריכים שווים, או הצבה t = aˣ. אי-שוויונות: a > 1 הכיוון נשמר, 0 < a < 1 הכיוון מתהפך.

3. לוגריתמים וחוקי הלוגריתמים

   logₐb = c פירושו aᶜ = b: הלוגריתם הוא המעריך שצריך לשים על הבסיס a כדי לקבל b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). חוקים: log(xy) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y, log(xⁿ) = n·log x. משוואה מעריכית שאין לה בסיס משותף פותרים בלוג: aˣ = b ⇐ x = log b/log a.

4. הפונקציה הלוגריתמית

   הפונקציה הלוגריתמית f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1) היא ההפוכה של aˣ: מוגדרת רק ל-x > 0, עוברת ב-(1, 0), אסימפטוטה אנכית x = 0; עולה כש-a > 1, יורדת כש-0 < a < 1.

5. חזרה משולבת: מעריכיות ולוגריתמים

   חזרה משולבת: חוקי חזקות ומעריך רציונלי, הפונקציה המעריכית ותכונותיה, משוואות ואי-שוויונות מעריכיים, לוגריתמים וחוקיהם, משוואות ואי-שוויונות לוגריתמיים, והפונקציה הלוגריתמית והטרנספורמציות שלה.

→ גאומטריה במרחב ווקטוריםגדילה ודעיכה ←