גאומטריה במרחב ווקטורים מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. ישרים, מישורים וגופים במרחב

   במרחב שני ישרים יכולים להיות נחתכים, מקבילים או מצטלבים (לא נפגשים ולא מקבילים). ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני ישרים נחתכים במישור.

2. וקטורים בגישה גאומטרית

   וקטור הוא קטע מכוון: יש לו אורך וכיוון. וקטורים שווים - אותו אורך ואותו כיוון; נגדיים - אותו אורך וכיוון הפוך; קולינאריים - מקבילים (אחד כפולה של השני).

3. מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית

   מכפלה סקלרית u·v = |u|·|v|·cos θ, כש-θ הזווית בין הווקטורים. התוצאה היא מספר. u·u = |u|², ו-u·v = 0 ⇔ הווקטורים ניצבים. משתמשים בה לחישוב אורכים (מעלים בריבוע), זוויות (cos θ = u·v/(|u||v|)) וכדי להוכיח ניצבות - גם של וקטור למישור.

4. מערכת צירים במרחב ווקטורים אלגבריים

   במרחב יש שלושה צירים ניצבים x, y, z, ונקודה מתוארת בשלושה שיעורים (x, y, z). וקטור בין נקודות: AB⃗ = B − A. מחברים וכופלים בסקלר שיעור-שיעור, האורך √(x² + y² + z²), האמצע הוא ממוצע השיעורים, וקולינאריות = שיעורים פרופורציוניים.

5. מכפלה סקלרית אלגברית, זוויות ונפחים

   במערכת צירים: u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. מכאן מחשבים אורכים (|u|² = u·u), זוויות (cos θ = u·v/(|u||v|)), ניצבות (u·v = 0, ובמישור: ניצבות לשני וקטורים בו), שטחי משולשים (½ab·sin) ונפחים של פירמידות ומנסרות. כל שאלה אפשר לפתור בגישה גאומטרית או אלגברית.

6. חזרה משולבת: גאומטריה במרחב

   חזרה משולבת על גאומטריה במרחב: מצבים הדדיים, גופים ונפחים, וקטורים בגישה גאומטרית (הבעה, קולינאריות, מכפלה סקלרית, ניצבות) ובגישה אלגברית (שיעורים, אורכים, זוויות, שטחים) - כמו שאלה 2 בשאלון 35472.

→ סדרותחזקות, פונקציות מעריכיות ולוגריתמים ←