סדרות מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. מהי סדרה: איבר כללי וכלל נסיגה

   סדרה היא רשימה מסודרת של מספרים: a₁ הוא האיבר הראשון, aₙ האיבר שבמקום n. אפשר להגדיר סדרה באיבר כללי (נוסחה לפי המקום n) או בכלל נסיגה (איך מקבלים איבר מהאיבר שלפניו, יחד עם a₁).

2. סדרה חשבונית: האיבר הכללי ותכונות

   סדרה חשבונית: כל איבר שווה לקודמו ועוד מספר קבוע d (ההפרש). האיבר הכללי aₙ = a₁ + (n − 1)d. כל איבר הוא הממוצע של שני שכניו. d > 0 עולה, d < 0 יורדת, d = 0 קבועה.

3. סכום של סדרה חשבונית

   סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n/2·(2a₁ + (n − 1)d). כל איבר שווה להפרש של שני סכומים: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. האיברים במקומות הזוגיים (או האי-זוגיים) יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש 2d.

4. סדרה הנדסית: איבר כללי וסכום

   סדרה הנדסית: כל איבר שווה לקודמו כפול מספר קבוע q (המנה), q ≠ 0. האיבר הכללי aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, והסכום Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) (כש-q ≠ 1). האיבר האמצעי מבין שלושה עוקבים מקיים b² = ac.

5. סדרה הנדסית אינסופית ושילוב סדרות

   לסדרה הנדסית אינסופית שבה −1 < q < 1 (q ≠ 0) יש סכום סופי: S = a₁/(1 − q). שאלות שילוב: איברים של סדרה חשבונית שיוצרים סדרה הנדסית (b² = ac), ותת-סדרות (מקומות זוגיים: a₂ ומנה q²).

6. חזרה משולבת: סדרות

   חזרה משולבת על סדרות: איבר כללי וכלל נסיגה, סדרה חשבונית (איבר כללי, ממוצע, סכום, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁), סדרה הנדסית (איבר כללי, ממוצע הנדסי, סכום), סדרה הנדסית אינסופית ושאלות שמשלבות את שתיהן - כמו שאלה 1 בשאלון 35472.

גאומטריה במרחב ווקטורים ←