סדרות ואינדוקציה מתמטית מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. סדרות: איבר כללי, כלל נסיגה וסימן הסכום

   סדרה היא רשימה ממוספרת של מספרים $a₁, a₂, a₃, ...$. מגדירים אותה בכלל של איבר כללי ($aₙ = n² − 1$) או בכלל נסיגה ($a₁ = 2$, $aₙ₊₁ = 2aₙ − 1$). סדרה עולה אם $aₙ₊₁ − aₙ > 0$ לכל n. $Sₙ$ הוא סכום n האיברים הראשונים, ו-$aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁$. הסימן Σ פירושו סכום.

2. הסדרה ההנדסית: איבר כללי וסכום חלקי

   סדרה הנדסית: כל איבר מתקבל מקודמו בכפל במנה קבועה q ($aₙ₊₁ = q·aₙ$). איבר כללי: $aₙ = a₁·qⁿ⁻¹$. סכום n איברים ראשונים: $Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)$ (q ≠ 1). שלושה איברים עוקבים: $b² = a·c$. האיברים במקומות האי-זוגיים (או הזוגיים) - סדרה הנדסית עם מנה q².

3. טור הנדסי אינסופי מתכנס

   טור הנדסי אינסופי $a₁ + a₁q + a₁q² + ...$ מתכנס (יש לו סכום סופי) רק כאשר $|q| < 1$, ואז $S = a₁/(1 − q)$. שימושים: עשרוני מחזורי כשבר ($0.777... = 7/9$), כדור קופץ, צורות שחוזרות על עצמן, ותנאי התכנסות כשהמנה תלויה ב-x.

4. אינדוקציה מתמטית

   אינדוקציה מתמטית מוכיחה טענה לכל n טבעי בשלושה שלבים: בסיס (n = 1), הנחה (נכון עבור n = k), צעד (מוכיחים עבור n = k + 1 בעזרת ההנחה). שימושים בתשפ״ז: סכומי טורים, שקילות בין כלל נסיגה לכלל של איבר כללי, וזיהוי הוכחה תקפה (למשל: צעד נכון בלי בסיס - לא הוכחה).

5. חזרה משולבת: סדרות ואינדוקציה

   חזרה משולבת: סדרות כלליות (איבר כללי, נסיגה, Sₙ − Sₙ₋₁, מונוטוניות), סדרה הנדסית (aₙ = a₁qⁿ⁻¹, Sₙ), טור הנדסי אינסופי (S = a₁/(1 − q), |q| < 1) ואינדוקציה מתמטית (בסיס, הנחה, צעד; שקילות ייצוגים; זיהוי הוכחה תקפה).

→ חשבון דיפרנציאלי: חקירה מעמיקההסתברות ←