חשבון דיפרנציאלי: חקירה מעמיקה מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. הנגזרת השנייה: קעירות ונקודות פיתול

   הנגזרת השנייה $f″$ ("f שתיים פריים") היא הנגזרת של $f′$ - קצב השינוי של השיפוע. $f″ > 0$ ⇒ הגרף קעור כלפי מעלה (∪); $f″ < 0$ ⇒ קעור כלפי מטה (∩). נקודת פיתול: נקודה שבה הקעירות מתחלפת (f″ מחליפה סימן).

2. חקירה מעמיקה של פונקציות רציונליות

   חקירת פונקציה רציונלית: תחום (המכנה ≠ 0); אסימפטוטה אנכית - המכנה מתאפס והמונה לא (אם שניהם מתאפסים - "חור"); אסימפטוטה אופקית - מעלת המונה קטנה ⇒ $y = 0$, שווה ⇒ יחס המקדמים המובילים; נגזרת בכלל המנה $(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²$; קיצון, גרף, ומספר פתרונות של…

3. חקירה מעמיקה של פונקציות שורש

   פונקציית שורש: תחום - הביטוי שמתחת לשורש ≥ 0 (ובמכנה > 0). נגזרת: $(√u)′ = u′/(2√u)$. קיצון יכול להיות בנקודה שבה $f′ = 0$ או בקצה התחום (שם הנגזרת לרוב לא מוגדרת והמשיק אנכי). חקירה: תחום, קצוות, נגזרת, טבלת סימנים, קיצון.

4. משפחות של פונקציות עם פרמטר ופונקציות מורכבות

   משפחת פונקציות: פונקציה שתלויה בפרמטר (למשל $x³ − 3ax$). פותרים לפי תנאי: נקודה על הגרף (מציבים), שיפוע נתון ($f′(x₀) = m$), קיצון בנקודה ($f′(x₀) = 0$), מספר קיצונים או מספר פתרונות.

5. פונקציות טריגונומטריות: קדם-אנליזה ונגזרת

   פונקציות טריגונומטריות (x ברדיאנים): $sin x$ ו-$cos x$ - מחזור 2π, ערכים בין −1 ל-1; $tan x$ - מחזור π, לא מוגדר ב-$x = π/2 + πk$. ב-$a·sin(kx) + b$: משרעת |a|, מחזור $2π/k$, הזזה b.

6. חקירת פונקציות טריגונומטריות ובעיות קיצון

   חקירת פונקציה טריגונומטרית בקטע: גוזרים, פותרים $f′ = 0$ כמשוואה טריגונומטרית, מסננים לפי הקטע, טבלת סימנים, ומחשבים גם את הקצוות. כלל שימושי: המקסימום של $a·sin x + b·cos x$ הוא $√(a² + b²)$.

7. חזרה משולבת: חשבון דיפרנציאלי

   חזרה משולבת על חשבון דיפרנציאלי של כיתה י״א: נגזרת שנייה וקעירות, פונקציות רציונליות (אסימפטוטות, כלל המנה, קיצון, מספר פתרונות), פונקציות שורש (תחום, קיצון בקצה), משפחות עם פרמטר ופונקציות מורכבות, ופונקציות טריגונומטריות (נגזרות, חקירה בקטע, קיצון גאומטרי).

→ טריגונומטריה: זהויות, משוואות ויישומים בגאומטריהסדרות ואינדוקציה מתמטית ←