טריגונומטריה: זהויות, משוואות ויישומים בגאומטריה מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. סינוס וקוסינוס של סכום והפרש זוויות

   נוסחאות הסכום וההפרש: $sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ$, $cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ$, $tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanα·tanβ)$. בסינוס מערבבים והסימן נשמר; בקוסינוס לא מערבבים והסימן מתהפך.

2. זווית כפולה והוכחת זהויות

   זווית כפולה: $sin2α = 2sinα·cosα$; $cos2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α$; $tan2α = 2tanα/(1 − tan²α)$. הורדת חזקה: $sin²α = (1 − cos2α)/2$, $cos²α = (1 + cos2α)/2$. הוכחת זהות: עובדים על צד אחד עד שמגיעים לצד השני.

3. משוואות טריגונומטריות

   פתרון כללי: $sin x = sinα ⇒ x = α + 2πk$ או $x = π − α + 2πk$; $cos x = cosα ⇒ x = ±α + 2πk$; $tan x = tanα ⇒ x = α + πk$ (k שלם; במעלות 360°k ו-180°k). משוואה מסובכת מביאים לאחת הצורות האלה: הצבה (t = sin x), פירוק לגורמים, או זהות (זווית כפולה).

4. טריגונומטריה בגאומטריה: משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים ופרמטרים

   משפט הסינוסים: $a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R$ (צריך זוג צלע-זווית מולה). משפט הקוסינוסים: $c² = a² + b² − 2ab·cosγ$ (שלוש צלעות, או שתי צלעות והזווית שביניהן). שטח: $½ab·sinγ$. בשאלות עם פרמטר מבטאים צלעות באמצעות α וזהויות (למשל $sin2α = 2sinα·cosα$).

5. חזרה משולבת: טריגונומטריה

   חזרה משולבת על היחידה: נוסחאות הסכום, ההפרש והזווית הכפולה; הוכחת זהויות; משוואות טריגונומטריות (פתרון כללי, בקטע, הצבה, פירוק); ויישומים בגאומטריה - משפט הסינוסים (2R), משפט הקוסינוסים, שטח וביטויים עם פרמטר.

חשבון דיפרנציאלי: חקירה מעמיקה ←