גאומטריה של המעגל ומשפט הסינוסים מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. מיתרים ומרחקם ממרכז המעגל

   מיתר הוא קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל; הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו, ולכן $R² = d² + (ℓ/2)²$. במעגל, מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז ונשענים על זוויות מרכזיות שוות (וגם להפך).

2. זוויות מרכזיות וזוויות היקפיות

   זווית מרכזית - קדקוד במרכז; זווית היקפית - קדקוד על המעגל. זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. זוויות היקפיות על אותה קשת שוות; זווית היקפית על קוטר היא ישרה.

3. משולש ומרובע חסומים במעגל

   כל משולש אפשר לחסום במעגל; המרכז הוא מפגש האנכים האמצעיים. במשולש ישר-זווית היתר הוא קוטר. מרובע חסום במעגל ⇔ סכום זוויות נגדיות $180°$. זווית חיצונית במרובע חסום שווה לפנימית שמולה.

4. משיק למעגל

   משיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת, ומאונך לרדיוס בנקודת ההשקה (וגם להפך). הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני (חצי מהקשת הכלואה).

5. משפט הסינוסים

   משפט הסינוסים: $a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R$, כאשר a, b, c הצלעות שמול הזוויות A, B, C ו-R רדיוס המעגל החוסם. משתמשים בו כשיודעים זוג "צלע + הזווית שמולה" ועוד נתון אחד.

6. חזרה משולבת: מעגל וטריגונומטריה

   סיכום אינטגרטיבי של הגאומטריה של המעגל (מיתרים, זוויות מרכזיות והיקפיות, מרובע חסום, משיק) ומשפט הסינוסים, בשילוב טריגונומטריה של משולש ישר-זווית מכיתה י׳.

→ המעגל במערכת ציריםסטטיסטיקה והסתברות ←