סטטיסטיקה והסתברות מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. הסתברות: טבלה דו-ממדית, עץ והסתברות מותנית

   השלמת הסתברות: טבלה דו-ממדית, עץ דו-שלבי, הסתברות מותנית $P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B)$, נוסחת האיחוד, ומאורעות בלתי תלויים ($P(A ∩ B) = P(A)·P(B)$). בתשפ״ז אין ניסויים תלת-שלביים.

2. סטטיסטיקה: ממוצע, סטיית תקן ושינוי נתונים

   השלמת סטטיסטיקה: ממוצע $x̄$ (גם משוקלל), חציון, סטיית תקן $σ$ ושונות $σ²$. הוספת קבוע לכל הנתונים מזיזה את הממוצע ולא משנה את σ; כפל בקבוע k כופל גם את הממוצע וגם את σ ב-k.

3. ההתפלגות הנורמלית: העקומה והאחוזים

   התפלגות נורמלית: עקומת פעמון סימטרית סביב הממוצע μ, שרוחבה נקבע לפי סטיית התקן σ. בין μ ל-$μ + σ$ נמצאים 34.13% מהנתונים, בין $μ + σ$ ל-$μ + 2σ$ - 13.59%, בין $μ + 2σ$ ל-$μ + 3σ$ - 2.14%, ומעבר - 0.13% (וכך גם בצד השמאלי).

4. ציון תקן וטבלת ההתפלגות הנורמלית

   ציון תקן $z = (x − μ)/σ$ אומר כמה סטיות תקן ערך רחוק מהממוצע. כל התפלגות נורמלית הופכת בעזרתו להתפלגות הסטנדרטית ($μ = 0$, $σ = 1$), שבה $Φ(z) = P(Z < z)$ נקרא מטבלה. $P(X > x) = 1 − Φ(z)$, $Φ(−z) = 1 − Φ(z)$.

5. דיאגרמת פיזור ומקדם המתאם

   דיאגרמת פיזור מציגה זוגות נתונים כנקודות. מקדם המתאם של פירסון $r = cov(x, y)/(σₓσᵧ)$ נע בין −1 ל-1: הסימן הוא כיוון הקשר הליניארי והערך המוחלט הוא עוצמתו. מתאם אינו מוכיח סיבתיות.

6. קו הרגרסיה וחיזוי

   קו הרגרסיה של y על x הוא הישר $ŷ = ax + b$ שמתאר הכי טוב את הנקודות. השיפוע $a = r·σᵧ/σₓ$, והקו עובר דרך $(x̄, ȳ)$, ולכן $b = ȳ − a·x̄$. משתמשים בו לחיזוי בתוך טווח הנתונים.

7. חזרה משולבת: סטטיסטיקה והסתברות

   חזרה משולבת על פרק א׳ של השאלון: הסתברות מותנית ואי-תלות (טבלה ועץ), ממוצע וסטיית תקן, התפלגות נורמלית וציוני תקן, מקדם מתאם וקו רגרסיה.

→ גאומטריה של המעגל ומשפט הסינוסיםמבחני תרגול במבנה שאלון 35471 ←