גאומטריה במישור: מקטע אמצעים ועד המעגל מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י׳

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. משולשים ומרובעים: חזרה, קטע אמצעים ותיכונים

   חזרה על משולשים ומרובעים (סכום זוויות, זווית חיצונית, שווה שוקיים, תכונות מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע וטרפז). קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות - מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה; ההפך: ישר דרך אמצע צלע המקביל לצלע שנייה חוצה את השלישית.

2. פרופורציה, משפט תאלס ומשפט חוצה הזווית

   פרופורציה $a/b = c/d$ פותרים בכפל בהצלבה ($ad = bc$). משפט תאלס: ישר המקביל לצלע במשולש (או ישרים מקבילים החותכים שני ישרים) יוצר קטעים פרופורציוניים: אם $DE ∥ BC$ אז $AD/DB = AE/EC$, וגם $AD/AB = AE/AC = DE/BC$. ההפוך: אם $AD/DB = AE/EC$ אז $DE ∥ BC$.

3. דמיון משולשים: שלושת משפטי הדמיון

   משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות פרופורציוניות, ביחס דמיון k. שלושה משפטי דמיון: ז.ז - שתי זוויות שוות; צ.ז.צ - שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה; צ.צ.צ - שלוש צלעות פרופורציוניות. סדר האותיות ב-$△ABC ∼ △DEF$ קובע את ההתאמה.

4. יחסים במשולשים דומים: גבהים, תיכונים, חוצים, היקפים ושטחים

   אם $△ABC ∼ △DEF$ ביחס דמיון k, אז כל זוג אורכים מתאימים מתייחס כ-k: צלעות, גבהים, תיכונים, חוצי זוויות, היקפים, וגם רדיוסים של המעגלים החוסמים והחסומים. שטחים מתייחסים כ-$k²$. לכן: מיחס שטחים מוציאים שורש כדי לקבל את יחס הדמיון.

5. המעגל: מיתרים, קשתות, זוויות מרכזיות והיקפיות

   מושגי המעגל: רדיוס, קוטר, מיתר, קשת, זווית מרכזית (קודקוד במרכז) וזווית היקפית (קודקוד על המעגל).

6. משיק למעגל, מצולעים חסומים וחוסמים

   משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה; שני קטעי המשיקים מנקודה חיצונית שווים, והקטע מהנקודה למרכז חוצה את הזווית ביניהם. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית על המיתר מהצד השני. מרובע חסום במעגל: זוויות נגדיות משלימות ל-$180°$ (וההפך).

7. חזרה משולבת: גאומטריה

   חזרה משולבת על הגאומטריה של כיתה י׳: קטע אמצעים ותיכונים, תאלס וחוצה זווית, דמיון ויחסי שטחים, ומשפטי המעגל (מיתרים, זוויות מרכזיות והיקפיות, משיקים, מרובע חסום). בשאלת בגרות הכלים משתלבים: זוויות היקפיות נותנות זוויות שוות ⇐ דמיון ⇐ יחס צלעות ⇐ אורך או שטח.

→ קדם-אנליזה: חקירת פונקציות בלי נגזרתטריגונומטריה ←