קדם-אנליזה: חקירת פונקציות בלי נגזרת מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י׳
בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:
גרף של פונקציה: חיתוך עם הצירים, סימן, עלייה, ירידה וקיצון
חקירת פונקציה בלי נגזרת: נקודות חיתוך עם הצירים (עם ציר y מציבים $x = 0$; עם ציר x פותרים $f(x) = 0$ - האפסים), תחומי חיוביות ושליליות (מתי הגרף מעל או מתחת לציר x), תחומי עלייה וירידה, ונקודות קיצון - מקסימום (מעלייה לירידה) ומינימום (מירידה לעלייה).
פונקציות חזקה, פונקציות זוגיות ואי-זוגיות
פונקציית חזקה היא $y = xⁿ$ (n טבעי). מעריך זוגי: גרף "קערה" דרך $(−1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, סימטרי ביחס לציר y. מעריך אי-זוגי: גרף עולה דרך $(−1, −1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, סימטרי ביחס לראשית.
פולינום כמכפלת גורמים ואי-שוויונות בדרך גרפית
פולינום כמכפלת גורמים: כל גורם $(x − r)$ נותן אפס ב-$x = r$. סימן הפולינום נקבע מטבלת סימנים: בכל אפס פשוט הסימן מתחלף, באפס כפול $(x − r)²$ הגרף רק נוגע בציר x, וגורם ריבועי בלי אפסים (כמו $x² + 4$) לא משנה סימן. בקצוות הסימן נקבע לפי האיבר המוביל.
טרנספורמציות של גרפים וערך מוחלט
טרנספורמציות של הגרף $y = f(x)$: $f(x) + k$ מזיז למעלה (k חיובי), $f(x − h)$ מזיז ימינה (h חיובי - הכיוון "הפוך" לסימן), $a·f(x)$ מותח אנכית פי a, $f(bx)$ מכווץ אופקית פי b, $−f(x)$ משקף בציר x ו-$f(−x)$ בציר y.
חזרה משולבת: קדם-אנליזה
חזרה משולבת על קדם-אנליזה: חיתוכים עם הצירים, תחומי סימן, עלייה וירידה וקיצון; פונקציות חזקה, זוגיות ואי-זוגיות; פולינום כמכפלת גורמים וטבלת סימנים; אי-שוויונות בדרך גרפית; טרנספורמציות וערך מוחלט.
שאלה לדוגמה
סגנון בגרות: מהן נקודות החיתוך של הגרף f(x) = −x² − 8x − 15 עם ציר x?
- (−5, 0) ו-(−3, 0)
- (−5, 0) ו-(3, 0)
- (5, 0) ו-(3, 0)
- (0, −5) ו-(0, −3)
לתשובה
(−5, 0) ו-(−3, 0) - פותרים f(x) = 0: מחלקים ב-(−1): x² + 8x + 15 = 0 ⇐ (x + 5)(x + 3) = 0 ⇐ x = −5 או x = −3. בדיקה: f(−5) = 0 ✓. החיתוכים: (−5, 0) ו-(−3, 0).
→ גאומטריה אנליטית: נקודות, ישרים ומעגלגאומטריה במישור: מקטע אמצעים ועד המעגל ←
לומדים את כל זה במרחב הלמידה, בחינם
שיעורים מונפשים ותרגול לפי תוכנית משרד החינוך. הילד עושה משהו בכל מסך ומקבל הסבר על כל טעות, וההורה מקבל דוח שבועי. ממלכתי וממלכתי-דתי.