גאומטריה אנליטית: נקודות, ישרים ומעגל מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י׳

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. מרחק בין נקודות ואמצע קטע

   המרחק בין $A(x₁, y₁)$ ל-$B(x₂, y₂)$ הוא $√((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)$ - משפט פיתגורס עם הפרשי השיעורים. נקודת האמצע היא ממוצע השיעורים: $((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)$, ומכאן גם $B = 2M − A$.

2. משוואת הישר: שיפוע, ישרים מקבילים ומאונכים

   השיפוע בין שתי נקודות: $m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)$. ישר דרך נקודה עם שיפוע: $y − y₁ = m(x − x₁)$. בצורה הכללית $ax + by + c = 0$ השיפוע הוא $−a/b$. ישרים מקבילים - שיפועים שווים; מאונכים - $m₁ · m₂ = −1$ (השיפוע "הפוך ונגדי").

3. משולשים ומרובעים במערכת צירים

   במשולש במערכת צירים: התיכון עובר מקודקוד לאמצע הצלע שמולו; הגובה יוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו (שיפוע הפוך ונגדי); האנך האמצעי עובר דרך אמצע צלע ומאונך לה, ושלושת האנכים האמצעיים נפגשים במרכז המעגל החוסם.

4. משוואת המעגל

   מעגל הוא אוסף הנקודות שמרחקן מהמרכז $(a, b)$ שווה לרדיוס R, ולכן משוואתו הקנונית היא $(x − a)² + (y − b)² = R²$ (נובעת ישר מנוסחת המרחק). מהמשוואה קוראים מרכז (עם סימן הפוך בסוגריים) ורדיוס (שורש של אגף ימין).

5. חזרה משולבת: גאומטריה אנליטית

   חזרה משולבת על גאומטריה אנליטית: מרחק ואמצע, משוואת ישר, ישרים מקבילים ומאונכים, תיכון, גובה, אנך אמצעי וקטע אמצעים, זיהוי מרובעים, ומשוואת המעגל הקנונית. המיומנות המרכזית: לתרגם כל דרישה גאומטרית ("מאונך", "באמצע", "במרחק שווה", "קוטר") לפעולה אלגברית.

קדם-אנליזה: חקירת פונקציות בלי נגזרת ←