חשבון דיפרנציאלי מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י׳

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. קצב שינוי והנגזרת של פולינום

   קצב שינוי ממוצע בקטע הוא שיפוע המיתר: $(f(b) − f(a))/(b − a)$. הנגזרת $f′(x₀)$ היא קצב השינוי הרגעי - שיפוע המשיק, הגבול של שיפועי המיתרים. כללי גזירה לפולינום: $(c)′ = 0$, $(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹$, $(a · f)′ = a · f′$, $(f + g)′ = f′ + g′$.

2. משוואת המשיק

   משוואת המשיק לגרף f בנקודה שבה $x = x₀$: מוצאים את הנקודה $(x₀, f(x₀))$ ואת השיפוע $m = f′(x₀)$, ומציבים ב-$y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)$. משיק מקביל לישר - משווים את $f′(x)$ לשיפוע שלו; משיק אופקי - $f′(x) = 0$.

3. חקירת פולינום: עלייה, ירידה, קיצון וגרף הנגזרת

   כש-$f′(x) > 0$ הפונקציה עולה, וכש-$f′(x) < 0$ היא יורדת. נקודות קיצון: פותרים $f′(x) = 0$ ובודקים בטבלת סימנים - מעבר מ-+ ל-− הוא מקסימום, מ-− ל-+ מינימום, ובלי החלפת סימן אין קיצון.

4. כלל המכפלה וכלל השרשרת

   כלל המכפלה: $(u · v)′ = u′ · v + u · v′$. כלל השרשרת (פונקציה מורכבת): $[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)$ - גוזרים את החיצונית ומשאירים את הפנים, ואז כופלים בנגזרת הפנימית. מקרה נפוץ: $[(ax + b)ⁿ]′ = n · a · (ax + b)ⁿ⁻¹$.

5. בעיות קיצון בפולינומים

   בעיית קיצון: מסמנים משתנה x, מבטאים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין כפונקציה של x בעזרת הנתונים, קובעים תחום הגיוני, גוזרים ומשווים ל-0, בודקים בטבלת סימנים שזה מקסימום או מינימום, ועונים בדיוק על מה ששאלו.

6. פונקציית השורש: חקירה, נגזרת וקיצון

   פונקציית שורש $y = √f(x)$: תחום ההגדרה - $f(x) ≥ 0$. נגזרת: $(√x)′ = 1/(2√x)$, ובשרשרת $(√f)′ = f′/(2√f)$. ל-$y = g(x) · √f(x)$ משתמשים בכלל המכפלה. חקירה ובעיות קיצון - כמו בפולינום: $f′ = 0$ (המונה מתאפס) ובדיקת החלפת סימן.

7. חזרה משולבת: חשבון דיפרנציאלי

   חזרה משולבת על החשבון הדיפרנציאלי: קצב שינוי ונגזרת של פולינום, משוואת משיק, עלייה וירידה, קיצון וגרף הנגזרת, כללי המכפלה והשרשרת, בעיות קיצון ופונקציית השורש.

→ גאומטריה וטריגונומטריהסטטיסטיקה והסתברות ←