גאומטריה: דמיון, מעגל וטריגונומטריה מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה ט׳

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. דמיון משולשים והוכחות

   משולשים דומים - זוויות שוות וצלעות מתאימות באותו יחס k. משפטי דמיון: ז.ז, צ.ז.צ (יחס שתי צלעות והזווית הכלואה), צ.צ.צ. ישר המקביל לצלע במשולש יוצר משולש דומה ומחלק את הצלעות האחרות באותו יחס. יחס ההיקפים k, יחס השטחים $k²$.

2. המשולש ישר הזווית: פיתגורס והגובה ליתר

   במשולש ישר זווית: פיתגורס $a² + b² = c²$ וההפוך לו. הגובה ליתר h מחלק את היתר להיטלים p ו-q: $h² = pq$, $a² = c · p$, $b² = c · q$ (כל ניצב עם ההיטל שלו), ו-$ab = ch$. התיכון ליתר שווה לחצי היתר.

3. משפטים במעגל: זוויות, מיתרים ומשיקים

   זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת; זוויות היקפיות על אותה קשת שוות; זווית היקפית על קוטר ישרה. האנך מהמרכז למיתר חוצה אותו. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ושני משיקים מנקודה אחת שווים. במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180°.

4. טריגונומטריה במשולש ישר זווית

   במשולש ישר זווית, לזווית חדה α: $sin α$ = הניצב שמול חלקי היתר, $cos α$ = הניצב שליד חלקי היתר, $tan α$ = הניצב שמול חלקי הניצב שליד. זהויות: $tan α = sin α / cos α$, $sin²α + cos²α = 1$, $sin α = cos(90° − α)$.

5. חזרה משולבת: גאומטריה

   חזרה משולבת על הגאומטריה של השנה: דמיון משולשים, משפטי המשולש ישר הזווית והגובה ליתר, משפטים במעגל (זוויות, מיתרים, משיקים, מרובע חסום) וטריגונומטריה. בשאלות משולבות מזהים את המשולש ישר הזווית או את זוג המשולשים הדומים, ואז בוחרים כלי.

6. קטע אמצעים במשולש ובטרפז

   קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות; הוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה (הוכחה בדמיון צ.ז.צ). ישר מאמצע צלע המקביל לצלע שנייה חוצה את השלישית.

7. פרופורציה: משפט תאלס והמשפט ההפוך

   משפט תאלס: ישרים מקבילים חותכים על שני ישרים קטעים פרופורציוניים; במשולש, אם DE ∥ BC אז AD/DB = AE/EC. משפט תאלס המורחב: AD/AB = AE/AC = DE/BC. המשפט ההפוך: אם AD/DB = AE/EC אז DE ∥ BC - כך מוכיחים מקבילות מתוך אורכים.

→ משוואות ריבועיות והפרבולהסטטיסטיקה והסתברות ←