משוואות ריבועיות והפרבולה מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה ט׳

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. פתרון משוואה ריבועית

   משוואה ריבועית $ax² + bx + c = 0$ ($a ≠ 0$) פותרים: בלי איבר x - בבידוד $x²$; בלי איבר חופשי - בגורם משותף; אחרת - בפירוק לגורמים, בהשלמה לריבוע, או בנוסחת השורשים $x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a$. לפני הכל מעבירים את כל האיברים לאגף אחד, כך שבאגף השני יהיה 0.

2. הדיסקרימיננטה, פרמטרים ונוסחאות ויאטה

   הדיסקרימיננטה $Δ = b² − 4ac$ קובעת את מספר הפתרונות: $Δ > 0$ - שניים, $Δ = 0$ - אחד, $Δ < 0$ - אין. במשוואה עם פרמטר דורשים תנאי על Δ ופותרים בפרמטר, ובודקים בנפרד את המקרה שבו המקדם של $x²$ מתאפס. נוסחאות ויאטה: $x₁ + x₂ = −b/a$, $x₁ · x₂ = c/a$.

3. הפרבולה: קודקוד, חיתוכים ותחומים

   הגרף של $y = ax² + bx + c$ הוא פרבולה: $a > 0$ - פתוחה למעלה (מינימום), $a < 0$ - למטה (מקסימום). הקודקוד: $x = −b/2a$, או $(p, k)$ בצורת הקודקוד $y = a(x − p)² + k$. חיתוך עם ציר y: $(0, c)$. חיתוך עם ציר x: פתרונות $y = 0$.

4. בעיות קיצון, חיתוך ישר ופרבולה ואי-שוויון ריבועי

   בעיית קיצון: מבטאים את הכמות שרוצים להגדיל (או להקטין) כפונקציה ריבועית של משתנה אחד, והקיצון בקודקוד $x = −b/2a$. נקודות חיתוך של ישר ופרבולה: משווים את הביטויים ופותרים משוואה ריבועית; מספר נקודות החיתוך נקבע לפי Δ, ו-$Δ = 0$ פירושו השקה.

5. הפונקציה הקווית: שיפוע, ישרים מקבילים ופרמטרים

   פונקציה קווית: $y = mx + b$. השיפוע $m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)$ יכול להיות שבר, ו-$(0, b)$ היא נקודת החיתוך עם ציר y. ישר בצורה $ax + by = c$ קוראים אחרי בידוד y. שיפועים שווים ו-b שונה - מקבילים; שיפועים שונים - נקודת חיתוך אחת.

6. חזרה משולבת: הפונקציה הריבועית

   חזרה משולבת על הפונקציה הריבועית: פתרון משוואות, דיסקרימיננטה ופרמטרים, ויאטה, קודקוד וחיתוכים, תחומים, בעיות קיצון, חיתוך ישר ופרבולה ואי-שוויונות ריבועיים. הרעיון המאחד: כל שאלה אלגברית על $ax² + bx + c$ היא גם שאלה על הפרבולה.

→ חזקות ושורשיםגאומטריה: דמיון, מעגל וטריגונומטריה ←