משוואה ריבועית ופונקציה ריבועית מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה ט׳

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. משוואה ריבועית: פירוק והוצאת שורש

   משוואה ריבועית: $ax² + bx + c = 0$ ($a ≠ 0$). פותרים בפירוק לגורמים לפי הכלל "מכפלה שווה 0 אם ורק אם אחד הגורמים 0", או בהוצאת שורש כשאין איבר עם x ($x² = k$ ⇐ $x = ±√k$). יכולים להיות שני פתרונות, אחד, או אף לא אחד.

2. נוסחת השורשים

   נוסחת השורשים פותרת כל משוואה $ax² + bx + c = 0$: $x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a$. הביטוי $Δ = b² − 4ac$ קובע את מספר הפתרונות: חיובי - שניים, אפס - אחד, שלילי - אין.

3. הפרבולה: צורה, קדקוד וציר סימטריה

   הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. הסימן של a קובע את הכיוון (חיובי ∪, שלילי ∩), והערך המוחלט שלו את הרוחב. בצורת הקדקוד $y = a(x − p)² + k$ הקדקוד הוא $(p, k)$, ציר הסימטריה $x = p$, ו-k הוא הערך המינימלי או המקסימלי.

4. חקירת פונקציה ריבועית

   חקירת $y = ax² + bx + c$: כיוון (סימן a), קדקוד ($x = −b/2a$, ואז מציבים), חיתוך עם ציר y ($(0, c)$), חיתוך עם ציר x (פתרון $y = 0$), תחומי עלייה וירידה (משני צדי הקדקוד) ותחומי חיוביות ושליליות (לפי נקודות האפס והכיוון). שימושים: מקסימום ומינימום בבעיות.

5. הפונקציה הקווית: שיפוע, חיתוכים וישרים מקבילים

   פונקציה קווית: $y = mx + b$. השיפוע m הוא השינוי ב-y כש-x גדל ב-1, ומחשבים אותו משתי נקודות: $m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)$. b הוא נקודת החיתוך עם ציר y, $(0, b)$. ישרים עם אותו שיפוע (ו-b שונה) מקבילים; נקודת חיתוך של שני ישרים מוצאים בהשוואת הביטויים.

6. חזרה משולבת: משוואה ופונקציה ריבועית

   חזרה משולבת: פתרון משוואה ריבועית (פירוק, שורש, נוסחה), קריאת פרבולה (כיוון, קדקוד, צורת קדקוד), חקירה (חיתוכים, עלייה/ירידה, חיוביות) ובעיות קיצון. חיתוך פרבולה עם ישר: משווים את שני הביטויים ופותרים משוואה ריבועית.

→ משוואות, אי-שוויונות ומערכותגאומטריה: דמיון, טריגונומטריה ומעגל ←