חפיפה ודמיון משולשים מתמטיקה לכיתה ח׳

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. צורות חופפות ומשפטי החפיפה

   צורות חופפות הן צורות שאפשר להניח זו על זו בדיוק, בעזרת הזזה, סיבוב או שיקוף. במשולשים חופפים כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. כדי לקבוע חפיפה מספיקים שלושה נתונים מתאימים: צ.ז.צ, ז.צ.ז או צ.צ.צ.

2. הוכחה בעזרת חפיפה

   הוכחה היא שרשרת של טענות, וכל טענה נשענת על נימוק: נתון, הגדרה או משפט שכבר הוכח. בהוכחה בעזרת חפיפה מוצאים זוג משולשים, מראים שלושה זוגות של חלקים שווים לפי אחד ממשפטי החפיפה, ומסיקים שגם חלקים מתאימים אחרים שווים.

3. זווית חיצונית, אי-שוויון המשולש ותיכון

   זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. בכל משולש, כל צלע קטנה מסכום שתי הצלעות האחרות, ומול צלע גדולה יותר נמצאת זווית גדולה יותר. תיכון הוא קטע מקודקוד לאמצע הצלע שמולו, והוא מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.

4. משולש שווה-שוקיים ודלתון

   במשולש שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, וגם להפך: משולש עם שתי זוויות שוות הוא שווה-שוקיים. חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס וגם גובה לבסיס. בדלתון האלכסון הראשי חוצה את האלכסון השני, מאונך לו, וחוצה את זוויות הראש.

5. דמיון משולשים

   משולשים דומים הם בעלי אותה צורה: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות פרופורציונליות. היחס בין צלעות מתאימות נקרא יחס הדמיון k. שתי זוויות שוות מספיקות כדי לקבוע דמיון. ההיקפים נמצאים ביחס k, והשטחים ביחס k².

6. פיתגורס במרחב

   בגוף תלת-ממדי מחפשים משולש ישר-זווית "נסתר". אלכסון של תיבה מוצאים בשני שלבים: קודם אלכסון הבסיס, ואחר כך משולש עם הגובה; בקיצור $d = √(a² + b² + c²)$. כך מוצאים גם גובה של פירמידה או את המוט הארוך ביותר שנכנס לגליל.

→ סטטיסטיקה: נתונים ומדדיםאי-שוויונות ומערכות משוואות ←