חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של eˣ ו-ln x מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״ב

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. המספר e ונגזרת של פונקציה מעריכית

   e ≈ 2.718 הוא הבסיס המיוחד שעבורו (eˣ)′ = eˣ: הנגזרת שווה לפונקציה. עם כלל השרשרת: (e^(f(x)))′ = f′(x)·e^(f(x)). משלבים עם כללי המכפלה והמנה, וכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, f′ = 0 רק כשהגורם האחר מתאפס.

2. חקירת פונקציות מעריכיות

   חקירת פונקציה מעריכית: תחום, חיתוך עם הצירים (eˣ ≠ 0, ולכן מאפסים רק את הגורם האחר), נגזרת וטבלת סימנים (עלייה, ירידה, קיצון), חיוביות, אסימפטוטות (אופקית כש-eˣ → 0 או e⁻ˣ → 0; אנכית במכנה שמתאפס), זוגיות, סקיצה ומציאת פרמטר.

3. הפונקציה ln x ונגזרתה

   ln x = logₑx, הלוגריתם בבסיס e: מוגדר ל-x > 0, ln 1 = 0, ln e = 1, e^(ln x) = x. הנגזרת: (ln x)′ = 1/x, ועם כלל השרשרת (ln f(x))′ = f′(x)/f(x). תחום של ln f(x): f(x) > 0, ובקצה שבו f(x) → 0 יש אסימפטוטה אנכית.

4. חקירת פונקציות לוגריתמיות

   חקירת פונקציה לוגריתמית: התחום קודם לכל (מה שבתוך ln חיובי, מכנה ≠ 0), אסימפטוטות אנכיות בקצות התחום, חיתוך עם ציר x כש-ln f(x) = 0 ⇔ f(x) = 1, נגזרת וטבלת סימנים (רק בתוך התחום), קיצון, זוגיות (רק בתחום סימטרי) ופרמטר.

5. גרף הפונקציה וגרף הנגזרת

   הקשר בין f ל-f′: הסימן של f′ קובע את כיוון f (f′ > 0 עולה, f′ < 0 יורדת); אפס של f′ שבו היא מחליפה סימן הוא קיצון של f (+ ⇐ − מקסימום, − ⇐ + מינימום); אפס בלי החלפת סימן - לא קיצון. כך מזהים גרף של פונקציה לפי גרף הנגזרת ולהפך.

6. אינטגרלים של eˣ ו-1/x ושטחים

   אינטגרלים חדשים: ∫eˣdx = eˣ + C, ∫e^(ax + b)dx = (1/a)e^(ax + b) + C, ∫(1/x)dx = ln x + C (x > 0), ∫dx/(ax + b) = (1/a)ln(ax + b) + C. אינטגרל מסוים = F(b) − F(a); שטח מעל ציר x = האינטגרל, מתחת - הערך המוחלט; שטח בין שני גרפים = ∫(עליון − תחתון).

7. חזרה משולבת: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

   חזרה משולבת על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: נגזרות של eˣ, e^(f(x)), ln x, ln f(x) בשילוב פולינומים ומנות, חקירה מלאה, פרמטר, קשר בין f ל-f′, אינטגרלים ושטחים - כמו שאלות 4–5 בשאלון 35472.

→ גדילה ודעיכהמבחני תרגול במבנה שאלון 35472 ←