חשבון אינטגרלי מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 5 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים

   פונקציה קדומה F של f מקיימת $F′(x) = f(x)$; כל הקדומות נבדלות בקבוע, ולכן $∫f(x)dx = F(x) + C$. כללים: $∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C$ (גם לחזקה שלילית, n ≠ −1), איבר-איבר, ופונקציה פנימית ליניארית: $∫(ax + b)ⁿdx = (ax + b)ⁿ⁺¹/(a(n + 1)) + C$.

2. אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות והתבנית u·u′

   אינטגרלים טריגונומטריים: $∫cos x dx = sin x + C$, $∫sin x dx = −cos x + C$, $∫1/cos²x dx = tan x + C$, ועם פנימית ליניארית מחלקים במקדם. ל-$sin²x$ ו-$cos²x$ - זהות הורדת חזקה. התבנית $u·u′$: $∫uⁿ·u′dx = uⁿ⁺¹/(n + 1) + C$ (למשל $∫sin³x·cos x dx = sin⁴x/4 + C$).

3. האינטגרל המסוים ופונקציית הצבירה

   האינטגרל המסוים $∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a)$ (משפט ניוטון-לייבניץ), כאשר F קדומה של f. תכונות: החלפת גבולות הופכת סימן, $∫ₐᵃ = 0$, אדיטיביות, ליניאריות. פונקציית הצבירה $S(x) = ∫ₐˣf(t)dt$ "צוברת" שטח מ-a עד x; $S(a) = 0$ ו-$S′(x) = f(x)$ (המשפט היסודי).

4. חישוב שטחים

   שטח בין גרף לציר x: אם $f ≥ 0$ - $∫ₐᵇf dx$; אם f שלילית - ערך מוחלט; אם מחליפה סימן - מפצלים בנקודות החיתוך. שטח בין שני גרפים: $∫ₐᵇ(עליונה − תחתונה)dx$, כשהגבולות הם נקודות החיתוך. שאלות עם פרמטר: מבטאים את השטח בעזרתו ומשווים.

5. חזרה משולבת: חשבון אינטגרלי

   חזרה משולבת בחשבון אינטגרלי: פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסוים (פולינומים, חזקות שליליות, פנימית ליניארית, טריגונומטריה, u·u′), מציאת פונקציה לפי נגזרת ונקודה, אינטגרל מסוים ופונקציית צבירה, וחישוב שטחים (מתחת לגרף, בין גרפים, עם פרמטר).

→ הסתברותמבחני תרגול בפורמט שאלון 35571 ←