פונקציות רציונליות ופונקציית השורש מתמטיקה · 4 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. פונקציה רציונלית: תחום הגדרה, אסימפטוטות וחיתוכים

   פונקציה רציונלית היא שבר שבמכנה שלו יש x, כמו $y = k/f(x)$. התחום: כל x שלא מאפס את המכנה. אסימפטוטה אנכית - במקום שבו המכנה מתאפס; אסימפטוטה אופקית - הערך שאליו y מתקרב כש-x גדל מאוד. חיתוך עם ציר y: מציבים $x = 0$; עם ציר x: משווים את y לאפס.

2. נגזרת של פונקציה רציונלית ומשיק

   הנגזרת של $k/f(x)$ מתקבלת מכלל השרשרת: $(k/f)′ = −k·f′/f²$. במיוחד: $(k/x)′ = −k/x²$, $(k/(x − a))′ = −k/(x − a)²$. משוואת המשיק בנקודה $x₀$: $y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)$.

3. חקירה מלאה של פונקציה רציונלית

   חקירה מלאה של פונקציה רציונלית: תחום, אסימפטוטות, חיתוכים, נגזרת, נקודות קיצון וסוגן (לפי החלפת סימן של הנגזרת), תחומי עלייה וירידה, ושרטוט. תחומי עלייה/ירידה נכתבים בנפרד בכל צד של אסימפטוטה אנכית.

4. בעיות קיצון עם פונקציות רציונליות

   בעיית קיצון: בונים פונקציה של משתנה אחד (בעזרת הנתון הקבוע, למשל שטח), גוזרים, משווים לאפס, ובודקים בטבלת סימנים שזה אכן מינימום או מקסימום. בתשפ״ז הבעיות הן גאומטריות (מלבנים, משולשים, נקודות על גרף).

5. חזרה: פונקציית השורש ונגזרתה

   חזרה על פונקציית השורש מכיתה י׳: $f(x) = √(ax + b)$ מוגדרת כש-$ax + b ≥ 0$, והנגזרת שלה $a/(2√(ax + b))$. מוצאים שיפוע, משיק, חיתוכים ותחומי עלייה. השנה עובדים רק עם ביטוי ליניארי בתוך השורש.

6. חזרה משולבת: פונקציות רציונליות ושורש

   חזרה משולבת על היחידה: תחום ואסימפטוטות, נגזרת של $k/f(x)$, משיק, חקירה מלאה, בעיות קיצון גאומטריות ופונקציית השורש. מזהים לבד איזה כלי מתאים לכל שאלה.

חשבון אינטגרלי ←