חשבון דיפרנציאלי מתמטיקה · 5 יח״ל לכיתה י׳

בנושא הזה 7 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. קצב שינוי ושיפוע המשיק: הנגזרת

   קצב השינוי הממוצע של f בקטע $[a, b]$ הוא שיפוע המיתר: $(f(b) − f(a))/(b − a)$. כשמקרבים את קצה הקטע לנקודה, שיפוע המיתר מתקרב לשיפוע המשיק - זו הנגזרת: $f′(a)$ = הגבול של $(f(a + h) − f(a))/h$ כש-h שואף ל-0.

2. משוואת המשיק, חקירת פולינום וגרף הנגזרת

   משוואת המשיק בנקודה $x₀$: $y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)$. חקירת פולינום בעזרת הנגזרת: $f′ > 0$ - עולה, $f′ < 0$ - יורדת; נקודת קיצון היא נקודה שבה $f′ = 0$ והסימן של f′ מתחלף (מ-+ ל-− מקסימום, מ-− ל-+ מינימום).

3. כלל המכפלה וכלל השרשרת

   כלל המכפלה: $(u·v)′ = u′·v + u·v′$. כלל השרשרת (פונקציה מורכבת): $[g(u(x))]′ = g′(u(x))·u′(x)$ - גוזרים את החיצונית בלי לגעת בפנימית, וכופלים בנגזרת הפנימית. מקרה חשוב: $[(u(x))ⁿ]′ = n·(u(x))ⁿ⁻¹·u′(x)$, ובפרט $[(ax + b)ⁿ]′ = na(ax + b)ⁿ⁻¹$.

4. בעיות קיצון

   בעיית קיצון: (1) בוחרים משתנה ומבטאים בו את כל הגדלים; (2) כותבים את הגודל שרוצים להגדיל/להקטין כפונקציה במשתנה אחד וקובעים תחום הגדרה; (3) גוזרים ומשווים ל-0; (4) מוודאים בטבלת סימנים שזה מקסימום/מינימום; (5) עונים על מה שנשאל.

5. פונקציית השורש: תחום, נגזרת וקיצון

   פונקציית השורש $y = √x$ מוגדרת ל-$x ≥ 0$; $y = √(f(x))$ מוגדרת כש-$f(x) ≥ 0$. נגזרת: $(√x)′ = 1/(2√x)$, ובשרשרת $(√u)′ = u′/(2√u)$; למכפלה $g(x)·√(f(x))$ משתמשים בכלל המכפלה. ב-$x = 0$ ל-√x אין נגזרת (משיק אנכי).

6. מבוא לפונקציות רציונליות: אסימפטוטות, נגזרת וקיצון

   פונקציה רציונלית היא מנה של פולינומים. תחום הגדרה: בלי הנקודות שבהן המכנה 0. אסימפטוטה אנכית: שם המכנה מתאפס והמונה לא (אחרי צמצום). נקודת אי-רציפות סליקה ("חור"): גורם שמתבטל במונה ובמכנה.

7. חזרה משולבת: חשבון דיפרנציאלי

   חזרה משולבת על החשבון הדיפרנציאלי של כיתה י׳: נגזרת כקצב שינוי, גזירת פולינומים, כלל המכפלה, השרשרת והמנה, משוואת משיק, חקירה (עלייה, ירידה, קיצון) והקשר לגרף הנגזרת, בעיות קיצון, פונקציית השורש ומבוא לפונקציות רציונליות (תחום, אסימפטוטות, חור).

→ טריגונומטריהתרגול בפורמט שאלון 35571 ←