תהליכים מעריכיים: גדילה ודעיכה מתמטיקה · 3 יח״ל לכיתה י״א

בנושא הזה 6 שיעורים. כך הם מתחילים:

1. גדילה מעריכית: גורם הגדילה q

   תהליך מעריכי הוא תהליך שבו כמות משתנה באחוז קבוע בכל פרק זמן. גורם הגדילה q = 1 + p/100 (גדילה ב-p%). הכמות אחרי t פרקי זמן: M = M₀ · qᵗ, כש-M₀ היא הכמות ההתחלתית. שני שינויים של p% אינם שינוי של 2p%, כי כל אחוז מחושב מהכמות החדשה.

2. דעיכה מעריכית וזמן מחצית חיים

   בדעיכה מעריכית כמות קטנה באחוז קבוע: q = 1 − p/100 (בין 0 ל-1), ו-M = M₀ · qᵗ. זמן מחצית חיים הוא הזמן שבו הכמות נחצית; אחרי n זמני מחצית חיים נשאר M₀ · (1/2)ⁿ. ירידה ועלייה באותו אחוז לא מחזירות לנקודת ההתחלה.

3. ריבית דריבית: חיסכון והלוואה

   בריבית דריבית הריבית מצטרפת לקרן ומרוויחה בעצמה ריבית, ולכן הכסף גדל מעריכית: M = M₀ · (1 + p/100)ᵗ. אותה נוסחה מתארת חוב שלא משלמים. הריבית שנצברה = הסכום הסופי פחות ההפקדה. מוצאים ריבית מ-q (שנה אחת) או מ-q² = מנה (שנתיים) בעזרת שורש.

4. פחת, אינפלציה וכוח קנייה

   פחת הוא ירידה בערך של מוצר באחוז קבוע בשנה: M = M₀ · (1 − p/100)ᵗ. אינפלציה היא עלייה של המחירים באחוז קבוע: מחיר עתידי = מחיר · (1 + p/100)ᵗ. כשמשכורת קבועה והמחירים עולים, כוח הקנייה הוא 1/qᵗ ממה שהיה. מאחוז הפחת בשנתיים מוצאים q בשורש.

5. קווי או מעריכי? השוואה וקבלת החלטות

   תהליך קווי: תוספת קבועה בכל פרק זמן (y = mx + b, ההפרשים קבועים). תהליך מעריכי: אחוז קבוע (M = M₀ · qᵗ, המנות קבועות). ריבית פשוטה היא קווית: M = M₀(1 + p·t/100). ריבית דריבית מעריכית. בטווח קצר אחוז גבוה יותר יכול לנצח; בטווח ארוך מעריכי עולה עובר כל קווי.

6. חזרה מעורבת: גדילה ודעיכה

   חזרה מעורבת על היחידה: גורם גדילה ודעיכה q, הנוסחה M = M₀ · qᵗ, מחצית חיים, ריבית דריבית והלוואות, פחת ואינפלציה, ריבית פשוטה מול דריבית וקבלת החלטות.

פיזור וסטיית תקן ←